Анализ, Теория

Как числа задают картину мира

Что может быть скучнее, чем числа? Ладно еще натуральные, ими хоть можно деньги считать. А вот эти действительные числа, с их бесконечными циферками, идущими после запятой… Рассказ про эти числа и про пределы, необходимые для их правильного понимания, видимо, это один из самых надежных способов вогнать учеников либо в священный трепет, либо (чаще всего) — в сон или желание сходить лишний раз на физкультуру.

Посмотрим же на числа немного с другой стороны. Есть ли связь между числами и типами мышления?

Действительные числа — числа для действий

Краткий обзор так называемых действительных чисел можно найти в википедии. Что же стоит за этим понятием?

Первым делом, само название действительные числа (они же — вещественные, они же real numbers (en)) указывает на материальную суть, на действие. Какое же действие здесь первым приходит на ум? Правильно, измерение.

Измерение всегда начинается с инструмента. В простейшем случае это — объект, задающий масштаб измерений. То, что в последствии назовется понятием «один». Один кусок, одна штука, одна единица измерения.

1

Следующим шагом мы скажем: как мы изготовили один масштабный объект, так же мы сможем изготовить и еще столько таких же объектов, сколько нам понадобится. Заметим, что в этом невинном заявлении содержится предположение о том, что а) мы умеем много раз изготовлять мерные шаблоны, б) мы умеем их сравнивать между собой, и в) умеем достоверно определять, равны они или нет. Сравнивать, кстати, и означает — определять, равны объекты или нет. Между прочим, равны в нашем случае еще и означает неразличимы, одинаковы с точки зрения нашей задачи измерения.

Если же наша фабрика по производству формально одинаковых по размеру отрезков заработала, мы готовы к следующему этапу — операции сложения.

Складывать отрезки — это, в буквальном смысле, — прикладывать их один к одному.

2

Поскольку мы орудуем в реальном, материальном мире, то наши действия должны подчиняться его законам. Если мы отрезали два одинаковых отрезка-единички, потом сложили их вместе определенным образом, они от этого не стали единым целым. Мы лишь можем, прикладывая новые отрезки к этим двум, подобрать такой, который мы определим как равный этой паре. Опять нам понадобилась фабрика по отрезанию сравнимых объектов и собственно умение сравнивать их точно.

Обладая такими нетривиальными с практической точки зрения навыками, мы можем попробовать сделать финт наоборот: подобрать два одинаковых между собой отрезка, сложение которых даст результат, точно совпадающий по размеру с нашим единичным образцом. В итоге мы породим дробные части.

1_2

Скурпулезность и неспешность, с которой мы продвигаемся вперед, должна дать полное ощущение того, как непросто создавать новый мир с нуля.

Отлично, что же мы имеем на данный момент? У нас на складе имеется много сравнимых между собой отрезков (при необходимости мы можем сделать точную копию любого из них). У каждого из отрезков есть свое название, причем названия у равных отрезков совпадают: один, два, три, и т.д. Есть символьные обозначения для них: 1, 2, 3, … Единственное — пользоваться кучей одинаковых объектов-отрезков не всегда удобно. Аптекари, правда, до последнего времени пользовались (не уверен, может, и до сих пор пользуются) абсолютно такой же системой объектов-гирь для измерения веса. Но для бытовых нужд хорошо было бы иметь что-то более удобное.

Соберем вместе все принципы, которые мы используем в материальном мире для измерения:

  • нужно иметь под рукой эталон единицы измерения;
  • прикладывать эталон к измеряемому объекту должно быть несложно;
  • нам потребуется узнавать, сколько нужно взять целых единиц и сколько — его частей, чтобы, помещая рядом с объектом измерения, получить равную величину;
  • понимая иллюзорность точных измерений в реальном мире, хорошо заранее задать точность, с которой будет приниматься решение о том, что «они практически равны».

Прикладывать к эталону и сравнивать — ключевые слова. Кстати, выражение «прикладная математика» получает таким образом свое самое прямое значение.

Описанное выше — это фактически абстрактная часть технического задания для изготовления любого инструмента для практических измерений.  Самый простой из них знаком всем с детства.

markus-spiske-711232-unsplash

Несмотря на кажущуются простоту, это инструмент, который для определенного контекста реализует все требования, указанные выше.

Ключевые моменты практического исчисления (ис-пользования чисел) и измерения:

  • возможность сравнения измеряемой величины со всеми целыми и дробными числами (проще сказать — всеми рациональными)
  • возможность определения диапазона, в который попадает результат измерения, с учетом заданной точности (длины диапазона);
  • возможность, при необходимости, эту точность повысить.

Рядом с практиками всегда есть философы и ученые, которые редко упускают возможность задать свой сакраментальный вопрос «А что, если?»

А что, если мы будем все время будем повышать точность измерения, но наша измеряемая величина ни разу не совпадет ни с одним из рациональных чисел?

На простой ответ практиков: «Да мы никогда и не сможем бесконечно повышать точность измерения» ни один уважающий себя исследователь не поведется. Тут важен принцип «А что, если …?»

Еще Пифагор логически показал, что если из единичных отрезков сложить правильный квадрат, то длину диагонали этого квадрата нельзя будет точно выразить ни одним из рациональных чисел. (Те, кто не знаком с этим фактом, может порешать этот математический ребус, пользуясь здравой логикой и теоремой Пифагора).

До какого-то момента с этим все спокойно мирились. Но потом ученые восприняли это как вызов: раз нельзя рациональными числами выразить какую-то величину — не беда, мы придумаем такие числа, которыми это будет можно сделать.

Так появился образ координатной прямой и головная боль у первокурсников, изучающих теорию действительных чисел по университетской программе математики.

Ученые же задались вопросом помасштабнее — а что, в принципе, мы можем называть числами, и насколько разнообразными могут получиться примеры этих новых чисел, построенных по нашим требованиям?

В простейшем варианте требования получились такими:

  • числа хочется складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга (очень уж все привыкли к тому, что с числами это всегда можно делать);
  • любые два числа нужно уметь сравнивать между собой (сравнивать — это же первое дело для результатов измерений);
  • ну, и если набор чисел можно каким-то естественным математическим способом пополнить, мы всегда будем это делать, поэтому неполные наборы чисел просьба вообще не предлагать.

Оказалось, что все абстрактные наборы объектов, которые обладают этими свойствами, ничем принципиально не отличаются от уже построенной в виде бесконечных дробей модели вещественных чисел (версия для математиков: существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле).

Вывод следует логичный — мы создали максимально хорошее определение чисел, подходящее для обоснования измерений. Этими числами в теории можно точно измерять диагонали квадратов, кубов, длины окружностей и много других экзотических вещей.

Выходит, других чисел не бывает и искать их не нужно?

Числа для экспертов

Эксперты обычно заняты систематизацией опыта и знаний, а также выработкой решений, основанных на понимании возможных вариантов для действий и оценке последствий от их использования в данном контексте.

В моем понимании, в обычной среднестатистической жизни экспертов достаточно натуральных чисел для нумерации вариантов перед их оценкой. 🙂

Если серьезнее, то обычно в каждой экспертной области есть своя система абстракций, которая помогает работать с формализацией и обработкой знаний.

Теория действительных чисел на этом фоне — далеко не самая сложная и актуальная конструкция. Когда я работал математиком, то люди, далекие от науки, часто задавали мне вопрос: ну, что ты сейчас вычисляешь? Приходилось их разочаровывать: ничего не вычисляю, других дел много.

Нужны ли экспертам действительные числа? В качестве примера работы с абстрактной моделью — почему бы и нет. В других отношениях это больше зависит от степени использования сложного математического аппарата в данной конкретной области экспертизы.

Однако основное свойство этих чисел — полная сравнимость между собой — вполне подходит экспертизе по своей сути. Ведь для выбора оптимального решения необходимо измерять и сравнивать, определяя таким образом наилучшее, наиболее подходящее и т.п.

Числа для лидеров и предпринимателей

Яркие представители лидеров и предпринимателей, если они занимаются только своей лидерской работой, также могут себе позволить ограничиться лишь рациональными числами (например, для подсчета финансовой стороны своего дела). Только натуральные не подойдут, потребуется вычислять проценты 🙂

Мышление этих людей не основано на последовательности действий или логическом сравнении вариантов. Умение адекватно пользоваться доверием к людям и своей интуиции, видеть образы отдаленных горизонтов в своем контексте, находить партнеров и уметь договариваться с ними здесь гораздо важнее.

Между прочим, любая деятельность, связанная с логическим сравнением, переключает мозг человека в режим, не совместимый с лидерским и предпринимательским типами мышления. Поэтому конструкции типа действительных чисел вряд ли смогут быть полезной компонентой для лидеров.

Тут гораздо более естественны не числа, а графы и схемы,  поскольку именно они предназначены для визуализации отношений, важнейшей сущности в этом домене.

Целостный подход к числам все-таки есть

Чтобы не сложилось впечатление о том, что никаких чисел, кроме действительных, в математике нет, обратимся к пятой области мышления — синергии. Оказывается, в математике имеются конструкции чисел, которые идеально подходят теме целостности.

Как при помощи целостного подхода можно определить числа? Как всегда, начало может быть очень простым. Вот они, наши числа, все в одном круге.

числа

Отлично, скажете вы. Прекрасный по своей бесполезности способ справиться с чем угодно.

Предлагаю не спешить с выводами. Мы только в начале нашего концептуального пути. Это только пока все наши числа синие и неразличимые между собой. Для начала мы просто скажем: вот они, они есть и могут в самом общем виде быть представлены в виде круга начального, нулевого уровня.

Что нужно делать следующим шагом по фрактальной идеологии? Да, определять существенные части наших чисел. Давайте сделаем так: скажем, что для нас важнее всего, какой остаток у числа будет после деления на 5. Математики могут отметить, что здесь вместо числа 5 подойдет любое другое простое число p.

Вариантов для величины остатка от деления  на 5 также пять, что мы и отметим на следующей диаграмме.числа_5

В исходном круге появились 5 кругов первого уровня. Делая это, как бы между прочим, мы неявно уже кое-что определили.

Можно ли считать натуральные числа теми числами, которые можно поместить в наш исходный круг? Да, конечно. Мы же можем определить, каков у каждого из них остаток от деления на 5. Значит, мы понимаем, к какому из кругов на второй картинке мы должны отнести каждое из этих чисел. Таким образом, даже не очень понимая что будет дальше, мы уже начинаем понемногу соображать, какой образ будет дальше складываться и где там искать знакомые нам числа.

Дальше — как обычно, просто рекурсия. Поделив число на 5, мы понимаем в каком круге первого уровня искать его место. Результат от деления мы также можем делить на 5 и тем самым уточнять ситуацию с местоположением. Появляются круги второго уровня.

числа_55

Как получается эта картинка? Например,
13 = 5 х 2 + 3. Остаток равен 3, результат от деления на 5 равен 2. Значит, на первом уровне мы идем в правый круг (3), а на втором — в левый (2);
22 = 5 х 4 +2. Первый уровень — влево (2), второй уровень — вверх (4).

Для любимого числа айтишников 42 получается такой расклад:

42 = 5 х 8 +2 = 5 х (5 х 1 +3) + 2, т.е первый уровень — идем влево (2), второй уровень — вправо (3), третий, пока не отображенный на картинке уровень, — вниз (1). Число 42 разместится где-то в зеленом секторе внизу от 17.

И так далее, как говорят математики. Все натуральные числа здесь находят свое место за конечное число шагов. Только вот ни о какой упорядоченности или сравнимости здесь речь уже не идет. Максимум о чем можно размышлять — это о фрактальной подобности.

Чем же примечательна эта конструкция, которая в математике именуется как множество p-адических чисел (в нашем случае p=5)? К сожалению, не нашел пока изложения темы для первоначального знакомства, которое является кратким, простым и доступным по открытой ссылке. Почитать рассуждения об истории, философии и применениях этих чисел можно, например, тут.

Несмотря на кажущуюся вычурность выбранной нами конструкции, после детального исследования (теорема Александра Островского, если кому интересны математические детали), оказывается, что любые попытки пополнить естественным путем систему рациональных чисел какими-то другими «числами» (без требования сохранить их попарную сравнимость) приводят либо к хорошо всем знакомым вещественным числам, либо вот к этим, р-адическим. Узок оказывается круг чисел.

Р-адические числа, как и действительные, имеют свою позиционную систему записи. Так, в нашем случае (при p=5) цифрами служат 0, 1, 2, 3 и 4.
Число 13 записывается в этой нотации как «23», 22 получает запись «42»,
42 будет выглядеть как «132» (см. наши вычисления выше, надеюсь что заметить нужное сходство несложно).

В такой записи наиболее значимые цифры числа стоят справа. Так, самая правая цифра говорит о том, в какой из кругов первого уровня попадает данное число. Следующая говорит о позиции в круге следующего уровня, и так далее.

Добавление цифр слева уточняет все более мелкие детали. Если развить это уточнение до предельного случая, мы получим подобие бесконечных дробей в обычных числах. А значит, среди них есть не только натуральные числа.

Далее, символические круги, изображенные на наших картинках, можно сделать полноправными математическими кругами, введя определение соответствующего расстояния между числами.

Эти круги обладают поистине фантастическим свойством: любая точка этого круга может служить его центром. В действительных числах, если выбрать точку круга, отличную от его центра, и построить круг того же радиуса с центром в этой новой точке, получится новое множество, не совпадающее с исходным кругом. В мире р-адических чисел та же процедура не дает ничего нового — второй круг в точности совпадает с исходным. С этой точки зрения  все точки в рамках своего круга являются абсолютно равноправными. Каждая из них не только может считать себя центральной точкой круга, но и фактически является таким центром.

За исключением сравнения, с p-адическими числами можно выполнять все обычные (арифметические) действия. Раз так, конечно же были предприяты эксперименты по использованию этой абстракции в различных видах анализа и математической физике. Однако, судя по общим признакам, этот подход не будет удобен в логических рассуждениях (что косвенно подтверждается высокой сложностью аналитических исследований на данную тему).

С точки же зрения целостного мышления, p-адический подход не обязательно рассматривать как числа, пытаясь повторить с ними все предыдущие аналитические трюки. Проще и полезнее использовать его как фрактальный образ, который реализует на каждом уровне один и тот же принцип выделения существенных частей.

Числа и картина мира

Что же получается в итоге наших рассуждений? Мы увидели, что на основе самых понятных натуральных чисел можно создать два принципиально разных подхода к определению чисел.

Первый, примененный при создании действительных чисел, основывается на идее тотальной сравнимости и упорядоченности. Построение снизу-вверх, от частного к более сложному в количественном отношении.

Второй способ, лежащий в основе р-адических чисел, идет от выделения существенных различий между числами и создания на основе этих различий структуры, которая определяет числа путем указания их места в общей системе. Явно видно построение сверху-вниз, от общего к частному.

Есть много других моментов, которые можно распределить на две группы по тому же самому принципу:

А) Бытие определяет сознание (от частного к общему):

  • Материально измеряемые результаты являются критерием истины;
  • Все должно быть измеряемо и через это — попарно сравнимо;
  • Демократия как принцип тождественности всех граждан перед логически определенным законом. Определение важных решений путем количественного подсчета голосов за и против;
  • Теоретическая картина мира, основанная на принципиальной сравнимости всех практик и возможности выбора из них наиболее эффективных и лучших;
  • Идея технического прогресса как последовательного движения от текущего состояния общества к его улучшенной версии, определенной научно-экспериментальным путем.

Б) Сознание определяет бытие (от общего к частному):

  • Идея, вдохновляющая сообщество определяет ориентир для выработки критериев;
  • Есть принципиально разные существенные стороны у жизни, несравнимые напрямую между собой, но в чем-то подобные;
  • Стратификация общества по типам мышления (наиболее важным отличиям частей сообщества). Каждый круг состоит из участников, равноправных  и одинаково важных в существенном, возможно разных в деталях;
  • Целостная (холистическая, что то же самое) картина мира, основанная на осмысленном взаимодействии частей целого и необходимости осознанно играть свою роль в системе по правилам, подходящих именно для этой части целого;
  • Идея высокого смысла, который виден с точки зрения целостности системы и ее участия в жизни систем более высокого уровня.

Являются ли эти два набора принципов противоположными друг другу?

С точки зрения последовательной логики — конечно. Здесь принцип тотальной сравнимости нельзя нарушать никак. В списке [сознание, бытие] что-то должно идти раньше, а что-то — позже.

Для целостного мышления нет ничего противоестественного в сочетании двух противоположных сил в рамках общей системы. Много философов высказывалось на эту тему, нет нужды повторяться каким-либо способом.

Единственное, о чем хотелось сказать в статье: от объединения подходов в единую систему их характер принципиально не изменяется. Хорошие инструменты, созданные для какой-то части системы, всегда опираются на ее принципы, и поэтому совершенно не обязаны быть полезными и удобными для другой части, работающей на других принципах.

Действительные числа и анализ на их основе были созданы для действий в материальном мире. Они не могут создавать или адекватно измерять доверие и адекватное понимание целостности мира. Давайте простим им это. Это не ошибка, эти числа так и задумывались. Давайте будем использовать их по назначению, согласно заложенным внутри принципам.

Для мира доверительных отношений, большой картины мира, вдохновения и вовлечения идея действительных чисел не подходит в принципе. Постоянное явное или неявное сравнение автоматически выключает целостное восприятие у человека. Использование фрактальной р-адической системы имеет в мире образов и доверия гораздо больше шансов на успех.

 

Как числа задают картину мира: 4 комментария

    1. Добрый день, Игорь! Спасибо за интерес к статье. Правило этого блога очень простое: если информация является обсуждением чьих-то внешних идей, то автор идеи указывается явно, с названием книг/статей и прямыми ссылками. В противном случае, который я обычно и предпочитаю, материал статьи — авторский. Чаще всего он является развитием метода Пяти Элементов, описанного в книге «Оркестровка предприятия». Авторство идей в этом блоге не означает, что «я все придумал», скорее, «смотрите, как это все можно понимать».

      Нравится

Добавить комментарий

Заполните поля или щелкните по значку, чтобы оставить свой комментарий:

Логотип WordPress.com

Для комментария используется ваша учётная запись WordPress.com. Выход /  Изменить )

Google photo

Для комментария используется ваша учётная запись Google. Выход /  Изменить )

Фотография Twitter

Для комментария используется ваша учётная запись Twitter. Выход /  Изменить )

Фотография Facebook

Для комментария используется ваша учётная запись Facebook. Выход /  Изменить )

Connecting to %s